كيف تم حساب قطر منطقة ظل القمر علي الارض ؟

،نعلم جميعنا انه وفقا للنموذج الكروي فان الكسوف يحدث عند وقوعا لقمر بين الارض والشمس مكونا منطقة ظل (Umbra) قطرها ٢٧٢كم وهذا الرابط فيه المعلومات عن طول منطقة الظل:
https://ar.m.wikipedia.org/wiki/%D9%83%D8%B3%D9%88%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%B4%D9%85%D8%B3
وفيما يلي سنعرض سويا كيف تم حساب هذه القيمة رياضيا:
حسنا كما هو موضح فى الرسم فان:
MN=d(Sun-Earth)=152.1×10^6Km
MS=R(Sun)=6.957×10^5Km
CN=d(Moon-Earth)=3.565×10^5Km
CB=R(Moon)=1737.5Km
NW=R(Earth)=6378Km
CX=d(Umbra)
ZH=(Umbraقوس)
φ=زاوية ظل القمر
وفيما يلي كيفية حساب طول منطقة Umbra (ZH)
R(sun)/{d(S-E) +d(U)- d(E-M)} = R(Moon)/d(U)
So:
R(S)×d(U)=R(M)×{d(S-E)+d(U) -d(M-E)——>{1}

بالتعويض من المعطيات السابقة في المعادلة {١} نجد ان :
(6.957×10^5 )× d(U)=1737.5×{(152.1×10^6 ) +d(U)- (3.56.×10^5)}
وبحساب المعادلة السابقة نجد ان:
6.939×10^5 ×d(U)=263.65×10^5
So:
d(U)=263.65×10^5/6.939×10^5
=3.799×10^5Km———————–>{2}
في المثلثBCX

Sin(φ)=R(Moon)/d(Umbra)
φ =Sin-1{1737.5/30799×10^5}
φ=0.26205———————————>{3}
،
سنقوم بحساب طول القوس(Umbra)
ZH=WX . 2φ(π/180)
.
WX=d(Umbra)-(d(M-E)-R(Earth))
So:
ZH=d(U)-(d(M-E)-R(E) ×2φ—————–>{4}
بالتعويض من (٢)و (٣)في المعادلة (٤) نجد ان :
ZH=3.799×10^5-(3.565×10^5-6378) ×2×(0.26205×(π/180)

ZH(Umbra)=272.4Km———————-{5}