معادلات ماكسويل2

– معادلات ماكسويل2
———————
تكلمنا فى المرة السابقة عن أولى معادلات ماكسويل في الشكل التكامليّ وهي معادلة جاوس للمجال الكهربائيّ (Gauss’s law for electric fields)، وسنتكلم اليوم إن شاء الله عن المعادلة الثانية من معادلات ماكسويل فى الشكل التكامليّ وهي معادلة جاوس للمجال المغناطيسيّ (Gauss’s law for magnetic fields).
وكما فعلنا في المرة السابقة سنقوم بوضع المعادلة لنقرأها بمعناها الفيزيائيّ وليس فقط كرموزٍ رياضيةٍ:
– تخيلنا في المرة السابقة شحنةً كهربائيةً موضوعةً بداخل سطحٍ مُغلقٍ (هذا السطح نسميه بسطح جاوس (Gaussian surface))، ولكن هذه المرة سنتخيل مغناطيسًا موضوعًا بداخل سطح جاوس.
– بنفس مفاهيم المرة السابقة نقول:
بما أن المغناطيس سينتج مجالاً مغناطيسيًا، وبما أن هذا المغناطيس موضوعٌ بداخل سطحٍ مغلقٍ، إذن عندما ينتج هذا المجال المغناطيسيّ سيقطع السطح المغلق.
– ما رأيك في أن نقوم بتخيّل أن المجال المغناطيسيّ الناتج سيكون على شكل خطوطٍ نسميها (field lines) (كما فى الصورة 1)، وهذه الخطوط عندما تقطع السطح وتخترقه سنسمي ذلك بـ ==> Magnetic flux (الفيض المغناطيسيّ) على عكس (الفيض الكهربائيّ) الذي تحدثنا عنه في المرة السابقة.
– إذن، المغناطيس سيُنتج خطوط المجال، وهذه الخطوط ستقوم باختراق السطح، لكن لحظة! فَهُنا النقطة الفاصلة بين قانون جاوس للمجال الكهربائي وقانون جاوس للمجال المغناطيسيّ، فلو ركزنا على الصورة 1، والتي توضح أن للمغناطيس قطبين لا يُمكن أن نفصلهما عن بعضهما، سنجد أن خطوط الفيض (field lines) تخرج من القطب الشماليّ للمغناطيس (north pole)، وتدخل فى القطب الجنوبيّ له (south pole) .
– نتذكر أنه فى حالة الشحنة الكهربائيّة استنتجنا أنه كلما زادت عدد الخطوط التي تقطع السطح، دلنا ذلك على وجود شحنةٍ كبيرةٍ بداخل سطح جاوس (السطح المغلق)، أما إذا كان عدد الخطوط التي تخرج من السطح وتقطعه تساوي الصفر، فهذا يعني أنه لا توجد أي شحنةٍ كهربائيةٍ بداخل السطح وبذلك تصبح Q enclosed تساوي الصفر (أي أن الطرف الأيمن لمعادلة جاوس للمجال الكهربائيّ يساوي الصفر).
– بنفس الطريقة سنتعامل مع قانون جاوس للمجال المغناطيسيّ:
لو ركزنا على الصورة رقم 1 ، سنجد أن الخطوط التي تخرج من القطب الشمالي للمغناطيس (north pole) تدخل في القطب الجنوبي له (south pole)، وبالتالي يكون عدد الخطوط الكُليّ التي تغادر السطح يساوي الصفر (ما يقطع السطح ويخرج = ما يقطعه ويدخل، فيكون بذلك الفيض المغناطيسي الكلي = صفر).
– لذلك يكون تفسير المعادلة (صورة 2) كالتالي:
* الطرف الأيسر من المعادلة:
هو ما نسميه (بتكامل الفيض المغناطيسيّ على السطح كله ) ==> أي أننا نقوم بجمع كل خطوط الفيض التي نتجت من المغناطيس الموضوع بداخل السطح والتي اخترقت السطح المغلق.
* هذا التكامل يجب أن يساوي الصفر كما في الطرف الأيمن، وذلك لأنه كما ذكرنا أن الخطوط التي تخرج من السطح المغلق تدخل فيه مرةً أُخرى فيكون العدد الكليّ لخطوط الفيض التي تغادر السطح (والتي تعبر عن Magnetic flux كما ذكرنا) تساوي الصفر.
– أي أن قانون جاوس للمجال المغناطيسيّ ينص على:
الفيض المغناطيسيّ الكليّ (Total magnetic flux) الذي يقطع السطح المغلق يساوي الصفر.
– فالفرق ما بين قانون جاوس للمجال الكهربائيّ وقانون جاوس للمجال المغناطيسيّ هو:
في حالة المجال الكهربائيّ يُمكننا فصل الشحنات الموجبة عن الشحنات السالبة، فلو وضعنا شحنةً موجبةً بداخل السطح المغلق سينتج عنها خطوطٌ للمجال الكهربائيّ لتقطع السطح ولا تدخل فيه مرةً أُخرى مما يُعطي قيمةً موجبةً للـ Electric flux.
أما في حالة قانون جاوس للمجال المغناطيسيّ، فلا يمكننا فصل القطب الشماليّ للمغناطيس عن القطب الجنوبيّ له مهما قسمنا المغناطيس لقطعٍ أصغر، وبالتالي فإن الخطوط التي ستقطع السطح وتخرج منه، ستقطعه مرةً أُخرى لتدخل فيه، مما ينتج عنه أن الفيض المغناطيسيّ الكليّ (Total magnetic flux) الذي يَقطع السطح المغلق يساوي الصفر كما نص قانون جاوس.
===============
المرجع ومصدر الصور :
Daniel Fleisch, A Student’s Guide to Maxwell’s Equations .